一文读懂直线度
直线度分两种情况：
1). 用于控制虚拟的空间曲线；
2). 用于控制零件表面的直线元素。
一、数学定义
1) 用于控制虚拟的空间曲线
这种情况下，直线度的公差带是一个圆柱体。为什么是这样呢？结合图1进行说明。
首先，这个虚拟的空间曲线（术语是'导出型中线'，Derived Median Line）要根据不完美的实际零件按照一定的步骤来得到。
其次，这个虚拟的空间曲线是三维的，所以需要用圆柱体才能将它包住。
最后，用这个圆柱体的直径代表直线度大小，而圆柱体的朝向不限定，只求能包住。
得到导出型中线的步骤：
1. 用精度足够的圆柱面（称为模拟器）来与轴或孔完成配合（和轴形成外接，或和孔形成内切）；
2. 以该高精度圆柱面的中心线作为实际轴或孔的轴线（图1之步骤1）；
3. 用垂直于该轴线的一系列几何平面，去和实际轴或孔的表面相交，得到一系列近似于圆的实际截面（图1之步骤2）；
4. 根据ASME标准找出这些实际截面圆的圆心（图1之步骤3）；
5. 这些圆心连接起来，便得到虚拟的空间曲线，即轴或孔的导出型中线（图1之步骤3）。
图1. 直线度用于控制虚拟的空间曲线
导出型中线的直线度（Straightness）定义：导出型中线必须在直径等于公差值的某个圆柱体内。这个圆柱体的位置和方向随意。数学表达式为：
(1)
其中：
P带->是空间中的任意点；
T带^是与轴线平行的方向向量；
A带->是位置向量，用于确定T带^的位置，可看作是空间中的一个点；
-是向量的减法运算符号；
X 是向量的向量积符号；
| | 这个绝对值符号在这里是表示向量的模（大小）的符号；
<=是比较数值大小的'小于等于'符号；
t是直线度公差值，它决定了圆柱体的直径；
t/2是t的二分之一。
式(1)的几何意义：与轴线（由点A带->和方向T带^确定）的距离小于等于t/2的所有点的集合，即半径等于t/2（直径等于t）的圆柱体。
判断轴（孔）的导出型中线是否满足直线度公差要求，就在于判断是否存在T带^和A带->，使得以T带^和A带->所确定的直线为中心线、直径等于公差值的圆柱，能够将导出型中线上的所有点包括在内。
补充说明一下如何确定不完美截面圆的中心？按照ASME B89.3.1 Standard on the Measurement for Out-of-Roundness（圆度测量标准）规定，截面的中心用能够包含实际圆截面、且半径差最小的两个同心圆的圆心来代表。当然也可以指定最小二乘圆、最大内切圆、最小外接圆等其它方法。参见图2。
图2. 实际圆截面的中心 – 四种确定方法
2) 用于控制零件表面的直线元素
与'导出型中线'类似，这里的难点在于如何确定待评价的直线元素。结合图3和图4进行说明。
对于轴或孔的情况。首先，用模拟器模拟出轴或孔的轴线Cv带^（图3之步骤1）。其次，在零件的实际表面任取一个点Ps带->（图3之步骤2）。经过点Ps带->和直线Cv带^的理想平面就称为'剖切面'（cutting plane），其法向向量记为Cp带^（图3之步骤3）。最后，这个剖切面和零件的实际表面相交出一条平面曲线（图3之步骤4）。这条平面曲线就是零件上的待评估直线元素。
对于两平行面的情况。首先，用模拟器（即相互平行的两个平面）去和零件实际平面形成高点接触，从而得到该特征的中心面。与该中心面平行的向量记为Cv带^。其次，在零件的实际表面任取一个点Ps带->（图4之步骤2）。经过点Ps带->并和Cv带^平行的平面就是剖切面（图4之步骤3）。最后，这个剖切面和零件的实际表面相交出一条平面曲线（图3 之步骤4）。这条平面曲线就是零件上的待评估直线元素。
图3. 直线度控制轴表面的直线元素
图4. 直线度控制零件表面的直线元素
零件表面的直线元素的直线度定义：剖切面和零件的实际表面相交出的平面曲线，必须落在剖切面内、间距等于公差值的两条平行线限定的区域内。数学表达式为：
其中：
P带->是空间中的任意点；
T带^是公差带（剖切面内由两条平行线限定的区域）中心线的方向向量；
A带->是位置向量，用于确定T带^的位置，可看作是空间中的一个点；
-是向量的减法运算符号；
X 是向量的向量积符号；
| | 这个绝对值符号在这里是表示向量的模（大小）的符号；
<=是比较数值大小的'小于等于'符号；
t是直线度公差值，它决定了圆柱体的直径；
t/2是t的二分之一；
是向量的数量积符号；数量级=0表明两个向量相互垂直；
Ps带-> 是零件实际表面上任取的一个点，它将在剖切面内；
Cp带^ 是剖切面的法向向量，也就是它代表了剖切面的朝向。
式（2）表示公差带由到中心线（由T带^和A带->确定）的距离小于等于t/2的所有点组成。这是一个圆柱体。
式（3）表示点P带->要在剖切面内。
式（4）表示点A带->要在剖切面内。
式（5）表示向量T带^要在剖切面内。
这样，圆柱体就剖切成两平行线之间的区域了。
三、图纸标注
直线度框格和直径标注在一起时，控制的是导出型中线（图5）。直线度框格指向零件表面时，控制的是零件表面的直线要素（图6）。
图5. 直线度控制导出型中线
图6. 直线度控制零件表面的直线要素
四、取值方法
直线度如何取值？ISO标准体系中，对于机加工件，ISO 2768-2（对应的国标GB/T 1184）给出的未注公差值可供参考。这些公差值是根据业界的实际加工能力，测量统计出来H级，然后通过计算放大得到K级和L级。数值见表1.
表 1. 机加工件的未注平面度公差(mm)
另外，中国国标GB/T 1184的附录B给出了公差等级值。这些数值是根据加工规律并考虑优先数系给出的。有关资料还给出了公差等级的应用举例。参见表2和图7。
表2. 直线度公差值及应用举例
图7. 直线度公差值
五、加工方法
直线是平面的一部分。平面的常用加工方案：铣（刨）类、铣（刨）磨类、车削类、拉削类、平板导轨类、特种加工类。
常用加工方法能达到的直线度公差等级如表3.
表3. 加工方法可达到的直线度公差等级
