每天一点统计学——卡方分布

抽样分布有三大应用：T分布、卡方分布和F分布。可以简单用四个字概括它们的作用：“以小博大”，即通过小数量的样本容量去预估总体容量的分布情况。这里开始介绍卡方分布。

若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

卡方分布的概率密度函数

和t分布一样，卡方分布也是一个分布族，其形状也是由参数自由度v来决定，其中，v = n - 1 （n为样本大小）每个整数自由度对应一个分布。卡方分布以下几个特征：

1、当v等于1或2时，卡方分布是一条先高后低的曲线

2、当v大于2时，卡方分布的形状发生改变，曲线呈具有偏度的钟型；

3、当v很大时，曲线接近正态分布；

卡方分布的概率密度函数的计算是依赖于一个样本统计量χ2（读作“卡方”），卡方的计算公式如下：

卡方的计算公式

卡方的概率密度函数计算公式如下：

卡方的概率密度函数

卡方分布主要用于检查实际结果与期望结果之间何时存在显著差别，它主要有两个用途：

用于检验拟合优度。也就是检验一组给定的数据与指定分布的吻合程度；

检验两个变量的独立性。通过卡方分布可以检查变量之间是否存在某种关联。

例子：下面是一台老虎机的期望概率分布图，其中X表示每一句游戏的收益：

我们收集了1000局游戏的数据，并记录了每种结果的观察频数和期望频数。所谓观察频数，就是每种收益结果的发生次数。而期望频数就是样本大小乘以收益发生的概率：

我们如何知道实际发生结果是真实的，还是被人操纵呢？换句话说：如何对观察频数和期望频数之间的差异进行量度呢？这取决于显著性水平α。

用卡方分布进行的检验为单尾检验，右尾被作为拒绝域。通过查看检验统计量（即卡方）是否位于右尾的拒绝域以内，就可以判定根据期望分布得出结果的可能性。用显著性水平α进行检验，可以写作：

显著性水平

拒绝域示意图如下：

拒绝域

求解卡方分布的拒绝域，可以使用卡方概率表

卡方概率表

如果显著性水平是5%，就可以判定老虎机受人操纵。根据这个标准来进行计算：

1、确定要进行检验的假设；

假设：每局收益不符合概率分布

2、求出期望频数和自由度；

期望频数已经记录，每局游戏可能出现5种结果，即自由度v=4

3、确定用于做决策的拒绝域；

自由度为4.显著性水平位5%的决绝域。

根据卡方概率表，可得出拒绝域为卡方>9.49的范围

（卡方概率表，横轴代表显著性水平，竖轴代表自由度，交叉值即为临界值）

4、计算检验统计量卡方；

根据卡方的计算公式，可得出检验统计量为38.272

5、查看检验统计量是否位于拒绝域以内；

检验统计量在拒绝域以内（38.272> 9.49）

6、作出决策

所以假设是错误的，老虎机收益结果符合概率分布