角平分线定理及其应用

角平分线是初中几何中非常重要的研究对象，它必定有很多的特殊性质，例如，

性质1：角平分线上的点到角两边的距离相等:

这个性质的对象是角，阐述了角平分线作为角这个平面图形的对称轴的一个意义。因此只要在角两边截取等长线段，分别连接这两条线段的端点与角平分线上的任一点，则会形成轴对称图形。

AF=AE，则GF=GE

关于角平分线还有2个比较有意思的问题：

如图所示：在中,∠B的角平分线交AC于点D,三边记为a,b,c

第一，对于一个给定三边的三角形形，作其中一个角∠B的角平分线，则该角平分线与第三边AC的交点D也随之确定，那么落在何处呢？在人教版教材P56页其实已经提到了这个问题的一半，由性质1，过点D情不自禁的向两边作垂线，垂足为I，H,则DI=DH，所以△ABD与△CBD等高，因此其面积比就等于底边的比：

...........(1)

而△ABD与△CBD的面积又可以分别看成以AD和CD为底，因此，这两个三角形又是同高的，所以有

...........(2)

由（1），（2）可得

性质2：三角形的一个角的角平分线分第三边的比等于两边之比

第二，既然D点已定，则BD这条角平分线段也就定了，那BD的长度又该如何求呢？

在这里，由于D点位置已经确定，即AD，CD长度已定，这样你可以用高中所学的余弦定理或者向量方法都可以求得。

当然Stewart定理告诉我们，只要点D是AC上一点，其位置确定，则BD就有公式求法，有兴趣的朋友可以百度获取，在这里以角平分线为例,给出三角形的角平分线的公式：

,表示∠B的角平分线段BD的长度。

当然有关角平分线的长度，下面这个公式更为好看：

性质3：△ABC的角平分线BD的长度满足等式：

中方=上积-下积

这个式子的证明放在初中是一个很好的圆中的相似问题，作△ABC的外接圆，延长CD交该圆于点K，连接AK，

这样，由于角分和等弧对等角的性质，便可以得到两组相似：

△BAK∽△BDC与△DAK∽△DCB。

由△BAK∽△BDC有：

.............(3)

由△BAK∽△BDC有圆中的相交弦定理：...............(4)

结合(3)(4)有

总结：如图所示：BD为角平分线，DI⊥AB，DH⊥于BC，则

与角平分线有关的结论

（1）.

（2）

（3）

个人觉得对于初中生而言，性质3可以不记，但是性质2必须记忆。

初中几何中，三角形的高线，中线也是非常重要的研究对象，那对于一个三边已知的三角形，其高线和中线该怎么求呢？欲知后事如何，且听下回分解！[偷笑]，这些都不难，只是给大家总结一下而已。