矩阵AB=E（E单位矩阵）能得到什么结论？---线性代数中的小问题1

矩阵AB=E（E单位矩阵）能得到什么结论呢？

可以得到以下几个结论：

结论1：R(A)=R(B)=R(E)，即A,B,E的秩相等；

结论2：A是行满秩矩阵，B是列满秩矩阵；

结论3：A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关。

注：这里比较容易出错的是：认为AB=E是可逆的定义，进而A,B是互逆的矩阵，所以它们秩相等；其实不然，因为这里A,B不一定是方阵，从而就不能用逆矩阵来解释。

正确的解答如下：

要使得AB=E，则根据矩阵乘法的定义，可假设A是n×m型，B是m×n型，这时E是n阶单位矩阵；

由矩阵秩的两个性质（两个矩阵乘积的秩小于等于最小的一个矩阵的秩；矩阵的秩小于等于矩阵行数和列数最小的一个）：n=R(E)=R(AB)≤R(A)（≤R(B)≤n）≤n，所以得到：R(A)=R(B)=R(E)；

同时也得到：A是行满秩矩阵，B是列满秩矩阵；

另外，根据矩阵是行（列）满秩等价于矩阵的行（列）向量组线性无关，得到：A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关。