数学：互质数的判断与应用

题记

在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的世界里，所有判断都是统计。

——统计学领袖 C.R.RAO

大家好！我是小刘同学！今天我们一起来复习一下，互质数的相关内容吧！

一 互质数的概念

公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。

解读这一概念，互质数的本质是两个非零自然数，但两个非零自然数不一定是互质数，唯有公因数只有1的两个非零自然数才是互质数。例如：1和5，5和9，8和15，20和21等。

二 互质数的判断方法

主要有以下5条：

1.首先明确，1和任何非零自然数都是互质数。

2.相邻两个自然数，一定互质。

例如：2和3，5和6等。

3.任何两个不同的质数，一定互质。

例如：5和7，7和11等。

4.一个质数一个合数，如果不是因倍关系，一定互质。

一个质数一个合数不一定是互质数，例如5和15；一个质数一个合数，如果不是因倍关系则一定互质，例如5和12。

5.两个合数，如果没有相同的质因数，一定互质。

两个合数不一定互质，例如4和6；判断两个合数是否有相同的质因数，可先分别将它们分解质因数，例如9和35。

以上5条方法的记忆口诀为：1非零，互质；两相邻，互质；

（此外的，）质质，互质；质合非因倍，互质；合合无同因，互质。

三 互质数的应用

主要应用于：第一，化简分数，以求最简分数；第二，求最大公因数和最小公倍数。前者根据最简分数的定义可知，分子、分母是互质数的分数叫做最简分数，例如4/25，5/8，5/12等，是必须应用到互质数的。而我们接下来重点说明后者。

（一）两个数求最大公因数有3种情况：

1.看是否互质，如果互质，则最大公因数为1；

2.看是否是因倍关系，如果是，则最大公因数为两个数中数值较小的一个数；

3.若两个数既不互质、也不是因倍关系，则运用短除法、分解质因数法求。

（二）与之相对，两个数求最小公倍数也有3种情况：

1.看是否互质，如果互质，则最小公倍数为两个数相乘所得之积。例如21和35，如果两个数不互质，就得运用短除法，而不能再直接用两个数相乘所得之积作为最小公倍数；

2.看是否是因倍关系，如果是，则最小公倍数为两个数中数值较大的一个数，它是另一个数的倍数；

3.若两个数既不互质、也不是因倍关系，则运用短除法、分解质因数法求。（最后一点与求最大公因数时相同）

四 短除法、分解质因数法

用短除法求最大公因数（a,b）=c，两个数时要将除数相乘，三个数时与两个数时一致；

用短除法求最小公倍数〖m,n〗=q，两个数时是除数乘商，而三个数时则还要两两互质，如果任意两个数有不互质的情况，我们都要再继续除下去。

五 相关的重要概念

（一）自然数

用来表示物体个数的0,1,2,3,4,5......叫做自然数。

正整数、0、负整数统称为整数，而自然数是整数的一部分。自然数有无限多个，最小的自然数是0，没有最大的自然数。

“1”是自然数的基本单位，任何自然数都是由若干个“1”组成的。

（二）质数、合数、平方数

一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做因数）。例如：2,3,5,7,11等。

一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。例如：4,6,8,9,10等。

自然数1既不是质数，也不是合数。

而平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9=3×3,9是一个平方数。

（三）质因数，与分解质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（四）因数和倍数，及最大公因数和最小公倍数

如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。

另外，几个自然数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

而几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公因数。

今天到这里，下回继续！

谢谢大家！