第5期 跟我聊一聊可微（可导）

千呼万唤始出来，失踪人口重新回归啦，emmmm，我的上一期文章还是四个月前发布的，具体没更新的原因后续我会以个人的小故事发出来的，最近也许会高产一些。

之前跟大家讲过极限是数分最最基本的概念，有了它才会有后面那么多的可微、可导、连续等概念。注：本文只讨论一元微积分（多元微积分相比一元的要复杂得多，不仅要考虑每个分量，还要考虑到每个分量之间的联系）

其实大家在高中就已经学过导数的概念，当时是由变化率这个概念提纯出来的概念，在函数图像上也有着特殊的几何含义——斜率，所以可以通过函数图像来判断一个函数的导数是否存在，即是否可导或者可微。如下图所示：

高中函数 f(x) 导数的定义：

可以这样理解，函数自变量 x 发生了一个小小的波动 Δx ，那么函数值的变化 f(x+Δx)−f(x) 是否相比与自变量的波动 Δx 成线性呢？即 （常数） 是否成立，这里由于变化微小，所以考虑极限定义，如果这个极限存在那么就将它定义为函数 f(x) 在该点的斜率，在几何上，也是切线与 x 轴非负半轴方向夹角的正切值（如上图所示）。

到了大学，定义几乎没变，只是对于条件或许更严格、更专业化而已。如下：

至此，大家也许会有疑问，本文题目一开始就提出了两个概念，可导vs可微，可微又是什么呢？

可微可以说是从是另一个方面说明函数变化率的概念，分析步骤差不多，如下：

函数自变量 x 发生了一个小小的波动 Δx ，那么函数值的变化 Δy=f(x+Δx)−f(x) 是否相比与自变量的波动 Δx 成线性呢？即 Δy=kΔx（k为常数） 是否成立，跟上面差不多，换成了乘积形式，但是对于数学这却是两种完全不同的形式，这里由于变化微小，所以同样地考虑极限的定义，而且那些微小的不影响函数主要线性部分的因素不应该被忽略，所以会写成

那么可微的准确定义来了

是这样的，可微呢，可积这一套我们都是学习西方的，是英文翻译过来的。学到后面，你会发现，其实数学上的东西，线性的一般是最简单的，一般都很好研究，但是自然界或者实际中，很多东西往往都是非线性的，所以我们需要对它在极其微小处进行微元线性处理（物理上很多东西都是这样搞出来的），这也就是我们为啥定义微分要取主要线性部分，你再想想现实中，地球是球体，但是你生活的那一小点就是平面啊，也就类似进行了线性化处理。

所以基本从推导形式上就可以看出，对于一元函数这两个定义等价。接下来我们严格推理一下

必要性： 可导⇒可微

充分性: 可微⇒可导

好的，综上所述，我们基本完成了对于一元函数可微与可导的总结概述。

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