马上世界杯：伯努利大数定理告诉你，为何十赌九输？

1685年，伯努利也是以研究赌博术为目的开始写作一部真正奠定“概率论”基础的历史性巨著《猜度术》，在这本著作当中，他创立了概率论中的第一极限定理：“伯努利大数定律”。

雅各布.伯努利

“大数定理“与“中心极限定理”一起，成为了现代概率论的基石。这个神奇的“大数定理”用公式进行了严格地证明：在任何看似公平的赌场中，任何一个赌徒输赢的机率看起来是一样的，但是只要长期赌下去，必然会输个精光。避开大数定律，从条件概率这个角度也可以对问题进行阐明。

这个问题是这样叙述的:甲、乙进行赌博，其赌本分别为a及b，若每局赌注为1，而甲、乙在每局中赢的概率分别为p及q、试求甲，乙把赌本输光的概率.

利用__两端带有吸收壁的随机游动__来模拟整个赌博过程，假定质点在时刻t=0时，位于x=a，代表初始状态时甲的资本，质点总是受到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率p及概率q=1-p向正的或负的方向移动一个单位，而在x=0及x=a+b处各有一个吸收壁，当质点在x=0处吸收时意味着此时甲的资本变为了0，当质点在x=a+b处被吸收时，此时甲获得全部的资本而乙破产。我们来求质点在x=a+b被吸收的概率即乙破产的概率，此时对应。用的是差分方程法。

若以qn记质点的初始位置为n而最终在a+b点被吸收的概 率.显然q0=0,qa+b=1

如果某时刻质点位于x=n,这里1≤n≤a+b-l,则它要被x=a+b吸收,有两种方式来实现:一种是接下去一次移动是向右.的而最终被x=a+b吸收;另一种是接下去一次移动是向左的而最终被x=a+b吸收.所以按全概率公式有：

qn=pqn+1+qqn−1,n=1,2,...,a+b−1

这样，我们得到了关于的一个二阶差分方程,再用边界条件就可以求解：

p(qn+1−qn)=q(qn−qn−1),n=1,2,...,a+b−1

若记cn=qn+1−qn,r=qp则又能写成

cn=rcn−1,n=1,2,...,a+b−1

下面分成两种情况求解：

1.根据上述等式，我们知道，当两人进行公平赌博时，赌徒甲、乙输光的概率分别为ba+b和aa+b这表明谁的初始赌本大谁就处于有利的地位。

2.若甲乙赌金相同，每局取胜概率均相等，则输光的概率也相等。

3.若甲乙每局取胜概率相等，则谁的赌金多谁赢的概率就大。

4.对手赌金无限。一直赌下去最后一定输光，即所谓“十赌九输”

来源：数据科学CLUB