百科式科学家—— 阿基米德

阿基米德

阿基米德（公元前287年—公元前212年），有着众多的TITLE，伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。可能他被大家最熟知的还是那句话：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”

阿基米德在数学、力学、几何学、流体力学等有许多伟大贡献和发明，所以被人称为“百科式科学家”。今天主要想谈谈在数学中经常会提到的阿基米德性质。

即：任意a,b属于正实数集，存在n属于正自然数集,使得nb＞a。

由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奥地利数学家史托尔茨（Otto Stolz）赋予它这个名字。其实在历史上，首先是一个希腊数学家“欧多克索斯”首先公布的，早于阿基米德100年。阿基米德本人也在手稿中坦言了这一点，但是遵从传统，一般称之为“阿基米德性质”，也称为“阿基米德公理”。

阿基米德性质很容易想象，但如何用严格的数学方式证明呢？下面我们给出一种数学证明：

用反证法。首先，假设不存在n属于正自然数集,使得nb＞a，即对于一切n属于正自然数集,使得nb≤a。则根据实数的确界定理，nb有最小的上界，记为c，则nb≤c。（确界定理：设数集S包含于实数集R，且S不等于空集，若S有上界,则S必有上确界；若S有下界,则S必有下确界，即最小的上界，最大的下界。）因为c是nb的最小上界，则存在c-ε,ε∈(0,b)，不是nb的上界，这样，可以选取一个自然数N使得Nb＞c-ε，Nb+b＞c-ε+b，(N+1)b＞c，这与假设相矛盾，故假设不成立。

所以，任意a,b属于正实数集，存在n属于正自然数集,使得nb＞a。这就是“阿基米德性质”有时也叫阿基米德-欧多克斯公理。其实比欧多克斯更早些，我国古代《墨经》上已记载着“穷，或有前不容尺也”，意思是：所谓“穷”，就是相当于用尺子去度量时遇到容不下尺子的情况。正是包含了阿基米德性质的思想。